1. Cột mốc về Tự chủ
Chúng tôi tập trung chủ yếu vào các hệ thống tự chủ. Một hệ thống có tính chất rằng $F$ và $G$ trong các phương trình (1) không phụ thuộc vào biến độc lập $t$ được gọi là hệ thống tự chủ. Sự độc lập này cho phép chúng ta hiểu quỹ đạo như những đường đi vĩnh viễn trên mặt pha cố định.
Với mọi hệ thống tự chủ $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x})$, luôn tồn tại một nghiệm duy nhất thỏa mãn $\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0$. Trên mặt pha, điều này đảm bảo rằng các quỹ đạo không bao giờ giao nhau; quỹ đạo được xác định hoàn toàn bởi trạng thái hiện tại, chứ không phải thời điểm bạn đến đó.
2. Tiêu chuẩn tuyến tính so với Hiện thực phi tuyến
Trong các hệ tuyến tính $\mathbf{x}' = \mathbf{Ax}$, gốc tọa độ thường là điểm cân bằng duy nhất, bị chi phối bởi định thức $q = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ và vết. Tuy nhiên, các hệ phi tuyến được xác định bởi các điểm tới hạn—những vị trí mà vế phải bằng không. Một điểm lưu ý lớn là Hố sâu có thể có nhiều hoặc rất nhiều điểm tới hạn đang cạnh tranh ảnh hưởng đến các quỹ đạo.
Ví dụ: Con lắc phi tuyến
Khác với hệ lò xo - khối lượng tuyến tính có chu kỳ không đổi, chu kỳ $T$ của con lắc phi tuyến phụ thuộc vào biên độ, được biểu diễn qua tích phân elliptic:
$$T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}}$$
3. Tính ổn định và tầm nhìn của Liapunov
Để phân tích các điểm này mà không cần giải phương trình, chúng ta sử dụng hàm Liapunov. Giả sử $V$ được xác định trên miền $D$ nào đó chứa gốc tọa độ. Khi đó $V$ được gọi là xác định dương trên $D$ nếu $V(0, 0) = 0$ và $V(x, y) > 0$ với mọi điểm khác trong $D$.
Khi mở rộng sang không gian 3 chiều, chúng ta gặp ma trận Lorenz:
$$\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} -10 & 10 & 0 \\ 1 & -1 & -\sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} \\ \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}$$